Problem 1 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Für welche Zahlen \(r \in \mathbb{R}\) besitzt das Randwertproblem $$ \begin{aligned} &4 y^{\prime \prime}+y=r \cdot \sin \frac{x}{2} \\ &y(0)=0, \quad y(2 \pi)=1 \end{aligned} $$ reelle Lösungen? Geben Sie für diese \(r\) alle reellen Lösungen an.

Step-by-Step Solution

Answer

No valid real value for r satisfies both boundary conditions, no real solutions. For any r value solutions will be composed of combinations of the general, homogeneous and particular solutions.

Step 1: Rewrite the differential equation

The given differential equation is: \[4y'' + y = r \times \frac{1}{2}\times \frac{x}{2}\]We solve the homogeneous equation first: \(4y'' + y = 0\). The general solution for the homogeneous equation is: \( y_h = C_1 e^{- \frac{1}{2} x} + C_2 e^{ \frac{1}{2} x} \).

Step 2: Solve the homogeneous equation

First, find the characteristic equation of the homogeneous part: \[ 4m^2 + 1 = 0 \rightarrow m^2 = - \frac{1}{4} \rightarrow m = \frac{1}{2}i \text{ and } m = - \frac{1}{2}i \].So the general solution of the homogeneous equation is: \[ y_h (x) = C_1 \text{cos}(\frac{1}{2}x) + C_2 \text{sin}(\frac{1}{2}x) \].

Step 3: Solve the particular solution

To solve the inhomogeneous part, we need to find a particular solution for \(4y'' + y = r \text{sin} \frac{x}{2}\). Assume a particular solution of the form \( y_p = A \text{sin} \frac{x}{2} + B \text{cos} \frac{x}{2} \).Plug into the differential equation:\[4(A \text{sin} \frac{x}{2} + B \text{cos} \frac{x}{2})'' + (A \text{sin} \frac{x}{2} + B \text{cos} \frac{x}{2}) = r \text{sin} \frac{x}{2}.\]

Step 4: Find values for coefficients

Calculate second derivatives and substitute back:\[(4)(-\frac{1}{4}A \text{sin} \frac{x}{2} - \frac{1}{4}B \text{cos} \frac{x}{2}) + A \text{sin} \frac{x}{2} + B \text{cos} \frac{x}{2} = r \text{sin} \frac{x}{2}\]\[A \text{sin} \frac{x}{2} = r \text{sin} \frac{x}{2} \rightarrow A = r \].So, \( y_p = r \text{sin} \frac{x}{2} \).

Step 5: General solution for y

The general solution to the differential equation is:\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 \text{cos}(\frac{1}{2} x) + C_2 \text{sin}(\frac{1}{2} x) + r \text{sin}(\frac{x}{2}) \].

Step 6: Apply boundary conditions

Use the boundary conditions to find specific solutions:For \( y(0) = 0 \):\[ 0 = C_1 \text{cos}(0) + C_2 \text{sin}(0) + r \text{sin}(0) \rightarrow C_1 = 0 \].For \( y(2\text{pi}) = 1 \):\[ 1 = C_2 \text{sin}(\text{pi}) + r \text{sin}(\text{pi}) \rightarrow C_2 = 0 \text{ as sin(2pi)=0. So no solutions possible unless r=0} \].

Key Concepts

Differentielle Gleichungen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen beinhaltet. In unserem Beispiel haben wir die Differentialgleichung: \[ 4y'' + y = r \sin \frac{x}{2}.\]

Das Ziel ist es, eine Funktion \( y(x) \) zu finden, die diese Gleichung erfüllt.

Solche Gleichungen sind oft in der Mathematik und Physik anzutreffen.
Die Lösungen können uns helfen, Phänomene wie Schwingungen oder Wachstum zu modellieren.

• Differentialgleichungen können linear oder nicht-linear sein.
• Sie können homogene oder inhomogene Terme enthalten.
• Die Lösung kann eine Funktion sein, die bestimmte Randbedingungen erfüllt.

Im nächsten Schritt betrachten wir die Charakteristische Gleichung, um die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung zu finden.

Charakteristische Gleichung

Die charakteristische Gleichung hilft uns, die Lösungen der homogenen Differentialgleichung zu finden.

Für die Differentialgleichung \[ 4y'' + y = 0,\]
lautet die charakteristische Gleichung: \[ 4m^2 + 1 = 0.\]

Wir lösen diese Gleichung, um die Werte von \( m \) zu finden.

Das Ergebnis ist: \[ m = \pm \frac{1}{2} i.\]

• Hier sind die Lösungen komplex.
• Dies bedeutet, dass die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung trigonometrische Funktionen enthält.
• Im speziellen Fall sind das Funktionen der Form: \[ y_h (x) = C_1 \cos \bigg( \frac{1}{2} x \bigg) + C_2 \sin \bigg( \frac{1}{2} x \bigg). \]

Nun widmen wir uns den Randbedingungen, die uns helfen, die Konstanten \( C_1 \) und \( C_2 \) zu bestimmen.

Randbedingungen

Randbedingungen sind zusätzliche Informationen, die die Lösung einer Differentialgleichung eindeutig machen.

In unserem Beispiel sind die Randbedingungen: \[ y(0) = 0 \quad \text{und} \quad y(2\pi) = 1. \]

Diese Bedingungen müssen von unserer Lösung erfüllt werden.

Wenn wir die allgemeine Lösung \[ y(x) = C_1 \cos \bigg( \frac{1}{2} x \bigg) + C_2 \sin \bigg( \frac{1}{2} x \bigg) + y_p(x) \]
und die Randbedingungen anwenden, erhalten wir:

• Bei \( x = 0 \): \[ 0 = C_1 \cos (0) + C_2 \sin (0) + r \sin (0) -> C_1 = 0. \]
• Bei \( x = 2\pi \): \[ 1 = C_2 \sin (2\pi) + r \sin (2\pi) = 0 -> C_2 = 0,\]
  was bedeutet, dass keine Lösungen existieren, außer \( r = 0 \).

Damit haben wir die speziellen Konstanten in unserer Lösung gefunden. Weiter geht es zur partikulären Lösung, um die inhomogene Gleichung zu lösen.

Partikuläre Lösung

Um die inhomogene Gleichung zu lösen, benötigen wir eine partikuläre Lösung.

Unser generalisiertes Ansatz ist: \[ y_p = A \sin \bigg( \frac{x}{2} \bigg) + B \cos \bigg( \frac{x}{2} \bigg). \]
Wenn wir diesen Ansatz in die inhomogene Gleichung \[ 4y'' + y = r \sin \bigg( \frac{x}{2} \bigg) \]
einsetzen, erhalten wir: \[ 4 \bigg( -\frac{1}{4} A \sin \bigg( \frac{x}{2} \bigg) - \frac{1}{4} B \cos \bigg( \frac{x}{2} \bigg) \bigg) + ( A \sin \bigg( \frac{x}{2} \bigg) + B \cos \bigg( \frac{x}{2} \bigg)) = r \sin \bigg( \frac{x}{2} \bigg). \]

• Nach Vereinfachung ergibt sich: \[ A = r \] und \( B = 0 \).

Somit lautet die partikuläre Lösung: \[ y_p = r \sin \bigg( \frac{x}{2} \bigg). \]
In Kombination mit der Lösung der homogenen Differentialgleichung ergibt dies die allgemeine Lösung.